Trong số các chuỗi phân kỳ cổ điển, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ tương đối khó thao tác thành một giá trị hữu hạn. Nhiều phương pháp tổng hợp được sử dụng để gán các giá trị số cho chuỗi phân kỳ, một số mạnh hơn các phương pháp khác. Ví dụ, Cesàro tổng kết là một phương pháp nổi tiếng rằng khoản tiền hàng loạt Grandi của, series nhẹ khác nhau 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ đến 1/2 Abel tổng kết là một phương pháp mạnh hơn mà không chỉ tóm tắt loạt Grandi còn 1/2 mà còn tóm loạt phức tạp hơn 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ đến 1/4

Không giống như loạt trên, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ không phải là triệu hồi Cesàro hay Abel. Các phương pháp này hoạt động trên chuỗi phân kỳ dao động, nhưng chúng không thể tạo ra câu trả lời hữu hạn cho chuỗi phân kỳ thành +.[6] Hầu hết các định nghĩa cơ bản hơn về tổng của một chuỗi phân kỳ là ổn định và tuyến tính, và bất kỳ phương pháp nào ổn định và tuyến tính đều không thể tổng 1 + 2 + 3 + ⋯ thành một giá trị hữu hạn; xem bên dưới. Các phương pháp nâng cao hơn được yêu cầu, chẳng hạn như chính quy hàm zeta hoặc tổng hợp Ramanujan. Nó cũng có thể tranh cãi đối với giá trị của − 1/12 sử dụng một số công nghệ tự động thô liên quan đến các phương pháp này.

Heuristic

Đoạn văn từ cuốn sổ tay đầu tiên của Ramanujan mô tả "hằng số" của bộ truyện

Srinivasa Ramanujan đã trình bày hai Mục từ của 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1/12 trong chương 8 của máy tính xách tay đầu tiên của mình.[7][8][9] Việc phái sinh đơn giản hơn, ít nghiêm ngặt hơn tiến hành theo hai bước, như sau.

Cái nhìn sâu sắc đầu tiên là chuỗi các số dương 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ gần giống với chuỗi xen kẽ 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. Các loạt sau cũng khác nhau, nhưng nó dễ dàng hơn để làm việc với; có một số phương pháp cổ điển gán cho nó một giá trị, đã được khám phá từ thế kỷ 18.[10]

Để chuyển đổi chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ thành 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, người ta có thể trừ 4 từ số hạng thứ hai, 8 từ số hạng thứ tư, 12 từ số hạng thứ sáu, v.v.. Tổng số tiền được trừ là 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯, gấp 4 lần chuỗi gốc. Những mối quan hệ này có thể được thể hiện bằng cách sử dụng đại số. Dù "tổng" của chuỗi có thể là gì, hãy gọi nó là c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Sau đó nhân phương trình này với 4 và trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:

c = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ 4 c = 4 + 8 + 12 + ⋯ c − 4 c = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ⋯ {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}

Cái nhìn sâu sắc quan trọng thứ hai là chuỗi xen kẽ 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ là sự mở rộng chuỗi công suất chính thức của hàm 1/(1 + x)2 nhưng với x được định nghĩa là 1. Theo đó, Ramanujan viết:

− 3 c = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Chia cả hai bên cho −3, người ta nhận được c   = − 1/12

Nói chung, không chính xác khi thao túng chuỗi vô hạn như thể chúng là các khoản tiền hữu hạn. Ví dụ: nếu các số 0 được chèn vào các vị trí tùy ý của một chuỗi phân kỳ, có thể đi đến các kết quả không tự đồng nhất, hãy để một mình phù hợp với các phương pháp khác. Cụ thể, bước 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ không được chứng minh chỉ bằng luật định danh phụ gia. Đối với một ví dụ cực đoan, việc thêm một số 0 duy nhất vào phía trước của chuỗi có thể dẫn đến kết quả không nhất quán.

Một cách để khắc phục tình trạng này và hạn chế các vị trí có thể chèn các số 0, là theo dõi từng thuật ngữ trong chuỗi bằng cách đính kèm một phụ thuộc vào một số chức năng.[11] Trong chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, mỗi số hạng n chỉ là một số. Nếu thuật ngữ n được thăng cấp thành hàm n s, trong đó s là một biến phức, thì người ta có thể đảm bảo rằng chỉ giống như các thuật ngữ được thêm vào. Chuỗi kết quả có thể được xử lý theo kiểu nghiêm ngặt hơn và biến s có thể được đặt thành later1 sau đó. Việc thực hiện chiến lược này được gọi là chính quy hóa chức năng zeta.

Chính quy hóa chức năng Zeta

Đồ thị của ζ (s). Với s > 1, chuỗi hội tụ và ζ(s) > 1. Tiếp tục phân tích xung quanh cực tại s = 1 dẫn đến một khu vực của các giá trị tiêu cực, trong đó có ζ(−1) = − 1/12

Trong chính quy hàm zeta, chuỗi ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n} được thay thế bởi loạt ∑ n = 1 ∞ n − s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}} . Loạt sau là một ví dụ về loạt Dirichlet. Khi phần thực của s lớn hơn 1, chuỗi Dirichlet hội tụ và tổng của nó là hàm Riemann zeta ζ (s). Mặt khác, chuỗi Dirichlet phân kỳ khi phần thực của s nhỏ hơn hoặc bằng 1, do đó, đặc biệt, chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ mà kết quả từ việc đặt s = điều1 không hội tụ. Lợi ích của việc giới thiệu hàm Riemann zeta là nó có thể được xác định cho các giá trị khác của s bằng cách tiếp tục phân tích. Một sau đó có thể xác định tổng zeta-regularized của 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ là ζ (-1).

Từ thời điểm này, có một vài cách để chứng minh rằng ζ(−1) = − 1/12. Một phương pháp, dọc theo dòng của lý luận Euler,[12] sử dụng mối quan hệ giữa hàm zeta Riemann và Dirichlet chức năng eta η (s). Hàm eta được xác định bởi một chuỗi Dirichlet xen kẽ, vì vậy phương pháp này tương đương với các heuristic trước đó. Khi cả hai chuỗi Dirichlet hội tụ, người ta có các đặc điểm nhận dạng:

ζ ( s ) = 1 − s + 2 − s + 3 − s + 4 − s + 5 − s + 6 − s + ⋯ 2 × 2 − s ζ ( s ) = 2 × 2 − s + 2 × 4 − s + 2 × 6 − s + ⋯ ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) = 1 − s − 2 − s + 3 − s − 4 − s + 5 − s − 6 − s + ⋯ = η ( s ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\times 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\times 2^{-s}&&{}+2\times 4^{-s}&&{}+2\times 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}}

nhận dạng ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) = η ( s ) {\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)} tiếp tục giữ khi cả hai hàm được mở rộng bằng cách tiếp tục phân tích để bao gồm các giá trị của s mà chuỗi trên phân kỳ. Thay s = −1 ai được −3ζ(−1) = η(−1). Bây giờ, tính toán η (1) là một nhiệm vụ dễ dàng hơn, vì hàm eta bằng tổng Abel của chuỗi xác định của nó,[13] là giới hạn một phía:

− 3 ζ ( − 1 ) = η ( − 1 ) = lim x → 1 − ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ ) = lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}

Chia cả hai vế cho -3, một được ζ(−1) = − 1/12.

Hành vi tiệm cận của sự làm mịn. Các -intercept y của parabol là − 1/12 [1]

Phương pháp quy tắc sử dụng một chức năng cắt có thể "mịn" loạt để đi đến − 1/12 Làm mịn là một cầu nối khái niệm giữa chính quy hóa chức năng zeta, với sự phụ thuộc vào phân tích phức tạp và tổng kết Ramanujan, với lối tắt đến công thức Euler của Maclaurin. Thay vào đó, phương thức hoạt động trực tiếp trên các phép biến đổi bảo thủ của chuỗi, sử dụng các phương thức từ phân tích thực.

Ý tưởng là để thay thế các chuỗi rời rạc ∑ n = 0 N n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n} với phiên bản được làm mịn

∑ n = 0 ∞ n f ( n N ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right)} ,

Trong đó f là hàm cắt với các thuộc tính thích hợp. Hàm cắt phải được chuẩn hóa thành f(0) = 1; đây là một chuẩn hóa khác với cái được sử dụng trong các phương trình vi phân. Hàm cắt phải có đủ các dẫn xuất giới hạn để làm mờ các nếp nhăn trong chuỗi và nó sẽ phân rã nhanh hơn 0 so với chuỗi phát triển. Để thuận tiện, người ta có thể yêu cầu f trơn tru, giới hạn và được hỗ trợ nhỏ gọn. Sau đó người ta có thể chứng minh rằng tổng Smooth đây là tiệm cận đến − 1/12 + CN2 trong đó C là một hằng số mà phụ thuộc vào f. Thuật ngữ không đổi của sự mở rộng tiệm cận không phụ thuộc vào f: nó nhất thiết phải có cùng giá trị được đưa ra bởi sự tiếp tục phân tích,   − 1/12 [1]

Tổng Ramanujan của 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ also cũng là   − 1/12 Ramanujan đã viết trong lá thư thứ hai của mình gửi GH Hardy, ngày 27 tháng 2 năm 1913:

"Thưa ông, tôi rất hài lòng về việc đọc thư của ông vào ngày 8 tháng 2 năm 1913. Tôi đang mong đợi câu trả lời từ bạn tương tự như câu mà Giáo sư toán học ở London đã viết yêu cầu tôi nghiên cứu kỹ Dòng vô hạn của Bromwich và không rơi vào cạm bẫy của loạt bài khác nhau.... Tôi nói với ông rằng tổng của một số vô hạn các số hạng của dãy: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1/12 dưới lý thuyết của tôi. Nếu tôi nói với bạn điều này, bạn sẽ ngay lập tức chỉ cho tôi nơi tị nạn mất trí là mục tiêu của tôi. Tôi mở rộng điều này chỉ đơn giản là để thuyết phục bạn rằng bạn sẽ không thể làm theo các phương pháp chứng minh của tôi nếu tôi chỉ ra các dòng mà tôi tiến hành trong một lá thư. Càng " [14]

Tổng kết Ramanujan là một phương pháp để cô lập thuật ngữ không đổi trong công thức Euler hay Maclaurin cho các khoản tiền một phần của một chuỗi. Đối với hàm f, tổng Ramanujan cổ điển của chuỗi ∑ k = 1 ∞ f ( k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)} được định nghĩa là

c = − 1 2 f ( 0 ) − ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) , {\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),}

Trong đó f (2 k 1) là (2 k   -   1) phái sinh -thứ của f và B 2 k là 2 thứ k số Bernoulli: B2 = 1/6 B4 = − 1/30 và vân vân. Đặt f(x) = x, đạo hàm đầu tiên của f là 1 và mọi thuật ngữ khác đều biến mất, vì vậy:[9]

c = − 1 6 × 1 2 ! = − 1 12 . {\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.}

Để tránh sự không nhất quán, lý thuyết hiện đại về tổng kết Ramanujan yêu cầu f là "chính quy" theo nghĩa các dẫn xuất bậc cao của f phân rã đủ nhanh để các thuật ngữ còn lại trong công thức Euler của Maclaurin có xu hướng về 0. Ramanujan mặc nhiên thừa nhận tài sản này. Yêu cầu về tính đều đặn ngăn chặn việc sử dụng phép tính tổng Ramanujan trên các chuỗi cách nhau như 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯, vì không có hàm thông thường nào lấy các giá trị đó. Thay vào đó, một chuỗi như vậy phải được giải thích bằng chính quy hàm zeta. Vì lý do này, Hardy khuyến nghị "hết sức thận trọng" khi áp dụng các khoản tiền Ramanujan của các bộ đã biết để tìm các khoản tiền của các bộ liên quan.[15]

Thất bại của các phương pháp tổng hợp tuyến tính ổn định

Phương pháp tổng hợp tuyến tính và ổn định không thể tính tổng chuỗi 1 + 2 + 3 + ⋯ cho bất kỳ giá trị hữu hạn nào. (Ổn định có nghĩa là thêm một thuật ngữ vào đầu chuỗi tăng tổng số tiền tương tự.) Điều này có thể được nhìn thấy như sau. Nếu

1 + 2 + 3 + = x

sau đó thêm 0 vào cả hai bên

0 + 1 + 2 + = 0 + x = x theo độ ổn định.

Theo tuyến tính, người ta có thể trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất (trừ từng thành phần của dòng thứ hai khỏi dòng đầu tiên trong các cột) để đưa ra

1 + 1 + 1 + ⋯ = x - x = 0.

Thêm 0 vào cả hai bên một lần nữa cho

0 + 1 + 1 + 1 + = 0,

và trừ hai loạt cuối cùng cho

1 + 0 + 0 + = 0

mâu thuẫn ổn định.

Do đó, mọi phương pháp đưa ra giá trị hữu hạn cho tổng 1 + 2 + 3 + ⋯ không ổn định hoặc không tuyến tính.